カテゴリの階層だけを変更した場合、そのアンサーを使っているサポートアクションに影響はありますか？

影響いたしません。サポートアクション側はアンサーIDを参照しているため、アンサーIDとカテゴリIDを変えずに parentId の変更で階層だけを変える場合は、参照先が維持されます。なお、アンサー自体のIDが変わる操作（作り直しなど）を行う場合はサポートアクション側の参照が外れますのでご注意ください。